En ces temps incertains, toutefois propices à l’exploration de nouveaux horizons, nouvelles formules, nouvelles opportunités, on a pensé opportun de faire appel au professeur Sabbagh afin qu’il prodigue ses précieuses astuces à la Simulation Nation. Cette rubrique vous apportera quelques How Tos nécessaire à la vie d’un Calculeux !
How to ANSYS / Leçon n°1:
Statique ? Dynamique ? Comment choisir et simplifier son modèle.
Si le choix entre analyse statique et analyse dynamique est souvent trivial, les implications sur les temps de calcul notamment laisse souvent l’ingénieur consciencieux un peu dubitatif quant à la pertinence d’un tel modèle. Pourquoi attendre quelques jours/heures quand le résultat peut être obtenu en quelques heures/minutes ?
Même logique sous-jacente à la question existentielle : “Pourquoi faire une pizza quand on peut l’acheter (on ne parle pas ici de ces ignobles pizzas industrielles, j’ai encore un palais)?”
La conversion entre calcul dynamique et statique est un concept bien connu. Un simple facteur d’amplification dynamique assignés aux charges peut permettre d’obtenir des résultats similaires. Bien entendu, cette méthode est limitée à des cas simples pour lesquels la question dynamique/statique se pose. Comment définir alors ce facteur ?
Par définition, le facteur d’amplification dynamique est égal au rapport entre le déplacement/la contrainte calculée en dynamique et le déplacement/la contrainte calculée en statique. Dans le cas d’une série de calcul, on peut donc obtenir ce facteur en effectuant le calcul en statique et en dynamique. Ce facteur peut alors être utilisé pour les variantes proposées (ceci implique naturellement que la rigidité du système reste similaire).
Calcul du facteur d’amplification dynamique
A ce point de la réflexion, tout le monde est heureux de voir qu’on peut « faire » un calcul dynamique, un calcul statique, comparer et calculer des variantes basées sur ce facteur. Mais ne pourrait-on pas prédire ce facteur ? Je ne suis pas Merlin hélas. Alors … c’est le moment de faire de la théorie.
La base, puisqu’on est en dynamique, est de revenir à l’équation du mouvement donnée par Newton.
En considérant un oscillateur à 1 degré de liberté sans amortissement, on a instantanément :
𝐹(𝑡) − 𝑘 ∙ 𝑥(𝑡) = 𝑚 ∙ 𝑥̈(𝑡)
Que l’on peut réécrire en prenant en compte la pulsation propre :
Dans le cas d’une force agissant sous forme de rampe, on a avec F0 la force finale et τ le temps de montée :
En résolvant l’équation différentielle du mouvement (merci Sympy), on trouve alors l’équation du déplacement associée à une montée sous forme de rampe :
La rampe complète peut être assimilée à une combinaison de 2 rampes : l’une de pente positive F/τ commençant à t=0, l’autre de pente négative -F/τ commençant à τ.
Figure 1: Décomposition du signal
Dès lors
Le maximum peut alors être obtenu par dérivation et remplacement de la solution dans l’équation initiale et on obtient (après de nombreuses et pénibles transformations trigonométriques) :
Avec T la période propre.
La solution statique étant F/k (on a juste un ressort finalement), le facteur d’amplification dynamique est alors :
Application
Prenons un exemple simple. Une poutre de section circulaire est encastrée à une extrémité et mise en flexion par une force de 1N.
- Longueur de la poutre L : 30 mm
- Diamètre de la section D : 1 mm
- Module d’Young du matériau E : 200 GPa
- Densité du matériau ρ : 7850 kg.m-3
- La force atteint sa valeur maximale F (1N) en 0.1ms, puis reste constante.
La première fréquence propre peut être calculée par :
Dans cette formule :
λ est la solution de l’équation cosh 𝑥 ∙ cos𝑥 = −1, soit environ 1.875.
A est la section
𝜋∙𝐷4
La flèche (effort appliqué de manière statique) par :
En utilisant le facteur d’amplification dynamique précédemment mentionné, on peut alors en déduire le déplacement sous charge dynamique. Le Tableau 1 montre les résultats obtenus par cette méthode et comparés à des simulations complètes dans ANSYS Mechanical 2019R3.
Tableau 1: Comparaison entre calcul analytique et FE
| Analytique | FE | Différence (%) | |
| Fréquence propre (Hz) | 784.6 | 783.6 | 0.13 |
| Flèche sous charge statique (mm) | 9.17e-4 | 9.18e-4 | 0.19 |
| Flèche sous charge dynamique (mm) | 1.82e-3* | 1.79e-3 | 1.62 |
| DAF | 1.99 | 1.95 | 1.81 |
*) calculé à partir du DAF théorique
Conclusion
Cette méthode pour le moins efficace peut être étendue à d’autres type de signaux d’entrée. Des solveurs mathématiques symboliques sont alors une aide précieuse permettant d’étudier n’importe quel type de signal. On peut ainsi (parfois) éviter de fastidieuses études dynamiques. Que demander de plus ? de la brioche ?
Références
Ansys help 2019 R3
Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau, 22. Auflage, Springerverlag
PDHonline Course S164 (4 PDH), Introduction to Structural Impact, C. Wright, 2012
Structural dynamics and vibration in practice, an Engineering handbook, D. Thorby, 2008
